Není průměr jako průměr.
Z těch samých hodnot můžeme "prostředního zástupce" vybrat mnoha různými způsoby. Každý z nich dá jiný výsledek a každý výsledek se hodí k jinému účelu.
Představme si, že potřebujeme zprůměrovat hodnoty 3, 9 a 18.
Je jejich průměr 10? Ano, je, ale jejich průměr je také 7,86 a také 6,00.
Vysvětlení je jednoduché.
Hodnota 10,0000 odpovídá aritmetickému průměru.
Hodnota 7,8622 je geometrický průměr.
A nakonec hodnota 6,0000 je průměr harmonický.
Proč tolik průměrů?
Mějme tyče délek 3, 9 a 18 metru a složme je do jedné dlouhé tyče; ta bude mít 30 m. Pokud místo nich použijeme tři jiné tyče o délkách 10 m (tj. o délce aritmetického průměru), dostaneme při složení tyčí rovněž celkovou délku 30 m.
Proto se pro tento případ hodí aritmetický průměr.
Pokud bychom chtěli tři původní tyče nahradit třemi tyčemi o délce geometrického průměru 7,8622 m nebo třemi tyčemi o délce harmonického průměru 6 m, celovou délků tří původních tyčí 30 m bychom nedocílili.
Mějme bazén 3 m hluboký, 9 m široký a 18 m dlouhý.
Jeho objem je 486 m3 (tj, 3 x 9 x 18).
Pokud bychom místo něj vystavěli jiný bazén, kde místo dosavadních hran 3, 9 a 18 m by byly všechny hrany o jednotné délce aritmetického průměru 10 m, pak by bazém měl objem 1000 m3. Takto dosažený objem se výrazně liší od objemu původního bazénu 486 m3.
V takovém případě je lepší použít geometrický průměr.
Postavíme-li krychlový bazén s hranami o délce geometrického průměru 7,822 m, bude jeho objem 486 m3, tedy stejně jako u původního bazénu.
V uvedeném případě, kdy se původní hodnoty nesčítaljí ale násobí, je lepší využít geometrického průměru.
Poslední příklad bude trochu náročnější, lze jej při čtení přeskočit.
Pokud bychom měli v elektronice paralelně zapojené odpory (rezistory) 3 ohm, 9 ohm a 18 ohm (popřípadě sériově zapojené kondenzátory 3 mF, 9 mF a 18 mF), pak hodnotu výsledného odporu R vypočítáme podle vzorce
1/R = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3
a z toho pak dále R = 1/(1/R)
Pro uvedené hodnoty 3, 9 a 18 je 1/R = 0,5, resp. R = 2 ohm
Pokud bychom chtěli místo tří různých rezistorů 3, 9 a 18 dát tři stejné, dostali bychom při hodnotě tří dílčích rezistorů 10 ohm celkovou hodnotu 3,333 ohm. Ta se neshoduje s původní hodnotou 2 ohm.
Když však nahradíme tři původní rezistory jinými třemi rezistory o hodnotě harmonického průměru 6 ohm, dostáváme odpor 2 ohm.
V případě, kdy se s původními hodnotami pracuje ve jmenovateli výpočtu, je vhodné použít harmonický průměr hodnot.
* * *
Není průměr jako průměr. A někdy není ani průměr tou nejvhodnějí hodnotou, jíž chceme zastoupit větší množství jiných dílčích hodnot.
Mějme továrnu, ve které pracuje sto dělníků se mzdou okolo 20 000 Kč*), čtyři uklízečky se mzdou 10 000 Kč a ředitel se mzdou 500 000 Kč.
*) Konkrétně zde pět dělníků bere 19 000, pět 19 500, osmdesát dělníků bere 20 000, pět 20 500 a pět 21 000.
Průměrný plat vypočítaný aritmetickým průměrem činí 24 190 Kč. To je částka, kterou z obyčejných lidí v podniku nikdo nedostane. Tato průměrná hodnota je ovlivněna odlehlou hodnotou ředitelova platu.
Proto se v daných případech používá k vyjádření středu medián nebo modus.
Modus je nejčetnější hodnota. Nejčetnější je ta mzda, kterou bere osmdesát dělníků. Modus vyjádříme slovy: Nejčastěji zde zaměstnanci berou 20 000 Kč.
Medián je mzda postředního zaměstnance. Seřaďme lidi do řady - první budou čtyři uklízečky se mzdou 10 000, za nimi pět dělníků se mzdou 19 000, pak dalších pět s 19 500, v dlouhé řadě bude stát osmdesát dělníků se mzdou 20 000, za nimi pět s 20 500 a pět s 21 000 a nakonec ředitel s půl milionem.
Vybereme prostředního člověka z řady (padesátý třetí v řadě) a zjistíme jeho mzdu - 20 000 Kč. To je hodnota mediánu.
Pokud by ředitel přijímal nového pracovníka a říkal mu o (aritmeticky) průměrném platu v podniku 24 190 Kč, byl by nový zaměstnanec při první výplate značně zklamán.
Uvede-li mu že nejčastěji se zde bere 20 000 Kč, je sdělení o hodně realističtější.
Medián i modus se hodí pro větší soubory (pro naše původní hodnoty 3, 9 a 18 by vhodné nebyly). Navíc jejich výhodou je, že je neovlivňují extrémní hodnoty. Pokud má ředitel 500 000 nebo 5 milionů a nebo pokud má nulovou mzdu (a je placen třeba "na fakturu"), hodnotu modus ani medián to neovlivní.
na hlavní seznam článků
na seznam článků Romana Jandy